Die Laplace Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion auf eine Funktion abbildet. Sie ist eine Erweiterung der Fouriertransformation und wird verwendet, um Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen zu überführen.
Der Transformationskern ist die exponential Funktion mit gemischt reel-komplexem Exponenten:
Was bei der FT die Frequenzachse ist, ist bei der Laplacetransformation eine komplexe Ebene.
Mit dem neuen Paramter lässt sich die Konvergenz beeinflussen, und kann als Dämpfung verstanden werden.
Damit kann eine größere Klasse von Funktionen im Zeitbereich erfasst werden als mit der Fourier-Transformation
Der Frequenzgang des Signals ist die Imaginärachse der Laplacetransformation, da ja . siehe Übertragungsfunktion
z.B. Bei Einschaltvorgängen interessiert uns nur, was nach dem Einschalten passiert.
Wegen der Einseitigkeit wird bei der Funktion des Zeitsignals die Heaviside-Funktion dazu Multipliziert.
(nicht zu verwechseln mit dem neuen eingeführten Parameter )
LAPT D1) Ist eine Funktion auf definiert mit für , so heißt:
Die Einseitige Laplace Transformation von , kurz
Die Laplacetransformation ist im Sinne des Uneigentliche Integrals zu verstehen:
Pole und Nullstellen
Beschränkung auf rationale Laplace Transformation. Ergebnis ist ein Quotient zweier Polynom
Nullstellen des Nennerpolynoms heißen Pole vom .
Nullstellen des Zählerpolynoms heißen Nullstellen von .
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist die Anzahl der Nullstellen gleich der Grad des Polynoms. Nullstellen treten als (vielfache) relle und/oder konjugiert komplexe Zahlen auf.
Einfache Nullstellen
lässt sich mit dieser Beschränkung als Partialbruch anschreiben:
Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass dann alle Summanden aufgrund der Linearität getrennt (rück)transformiert werden können.
Funktioniert nur solange der Grad des Zählerpolynoms nicht größer ist als der Grad des Nennerpolynoms und die Pole nur Einfach sind.
Die Konvergenzabzisse ist eine zur -Achse parallele Gerade auf welcher der Pol mit dem größten Realteil liegt.
Das heißt, dass sich alle Pole der Laplace-Transformierten links dieser Abzisse befinden
Das Konvergenzgebiet ist somit auf der rechten Halbebene der Abzisse.
Sätze
S2 - LTR) Sätze zu den Rechenregeln für Laplace-Transformationen
Einfache Schreibweise:
Explizite Schreibweise:
|
S3 - AEWS) Anfangs und Endwertsatz
erster Anfangswertsatz
Es sei vorrausgesetzt, dass der Grenzwert im Zeitbereich existiert
zweiter Anfangswertsatz
Es sei vorrausgesetzt, dass der Grenzwert im Zeitbereich existiert
Endwertsatz
Endwert satz gilt nur dann, wenn alle Pole Links stehen, außer der Pol bei 0. Bevor der Endwertsatz angewandt wird muss die Funktion auf stabilität geprüft werden.
Korrespondenzen
S3 - LAPK) Korrespondenztabelle
Rücktransformation
D - ILAPT) Inverse Laplace Transformation - Umkehrintegral
Funktionen im Bildbereich treten als rationales Polynom auf
Vorhergehensweise
Polynomdivision wenn
sollte soweit es geht faktorisiert werden
Null und Polstellen berechnen:
Partialbruchzerlegung durchführen
Vereinfachte Korrespondenzen der Tabelle Entnehmen
Existenzbedingungen
Bedingungen für dei Existenz der Laplace-Transformierten der funktion :
ü
für geeignete reelle Konstanten und und dass in jedem endlichen intervall nur endlich viele Springstellen besitzt.
Konvergenzsverhalten
Damit konvergiert, müssen alle Integrale konvergieren.
S1 - LTKB) Konvergenzbedingung für die Laplace-Transformierte
Das heißt, dass das Laplace-Integral in der Halbebenerechts jenes Pols mit dem größten Realteil konvergiert.
Abschätzung der Konvergenzabzisse: Welche Funktionen können Transformiert werden?
Für spezielle Funktionen lassen sich Abschätzungen für angeben: Mit bezeichnen wir die Menge der Funktionen , für die gilt, dass stückweise stetig ist und dass höchstens exponentiell wächst. Das heißt, es existieren und , sodass
Sei und mit und . Dann gilt: . Mit erhalten wir nun:
S2 - TRF) Transformierbare Funktionen
Sei , dann Existiert die Laplace-Transformation von für alle mit . Mit wie in der obigen Abschätzung für die Konvergenzabzisse
Stabilität des Systems
Polstellen bei verschiedenen Schwingbedingungen:
Schwingfall: Pole sind rein konjugiert Komplex
Kriechfall: Pole sind rein reell
Grenzfall: Pole wander zusammen bis sie auf der Imaginärachse sind
