Einseitige Laplace Transformation

z-Transformation


Die Laplace Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion auf eine Funktion abbildet. Sie ist eine Erweiterung der Fouriertransformation und wird verwendet, um Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen zu überführen.

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Der Transformationskern ist die exponential Funktion mit gemischt reel-komplexem Exponenten:

Damit kann eine größere Klasse von Funktionen im Zeitbereich erfasst werden als mit der Fourier-Transformation

Der Frequenzgang des Signals ist die Imaginärachse der Laplacetransformation, da ja . siehe Übertragungsfunktion

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Einseitigkeit:
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LAPT D1) Ist eine Funktion auf definiert mit für , so heißt:

Die Einseitige Laplace Transformation von , kurz

Die Laplacetransformation ist im Sinne des Uneigentliche Integrals zu verstehen:

Pole und Nullstellen

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Beschränkung auf rationale Laplace Transformation. Ergebnis ist ein Quotient zweier Polynom

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist die Anzahl der Nullstellen gleich der Grad des Polynoms. Nullstellen treten als (vielfache) relle und/oder konjugiert komplexe Zahlen auf.

Einfache Nullstellen

lässt sich mit dieser Beschränkung als Partialbruch anschreiben:

Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass dann alle Summanden aufgrund der Linearität getrennt (rück)transformiert werden können.

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Funktioniert nur solange der Grad des Zählerpolynoms nicht größer ist als der Grad des Nennerpolynoms und die Pole nur Einfach sind.

Mehrfache und konjugiert komplexe Polstellen

Kommt beim index eine der Folgenden Polstellenarten vor, wird dieser Summen Term mit dem genannten Ansatz ersetzt:

Pol-Nullstellen Diagramm

Die Oben definierten Pole und Nullstellen von können in ein Diagramm eingezeichnet werden:

invert_dark

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Bedeutung der Konvergenzsabzisse

Sätze

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S2 - LTR) Sätze zu den Rechenregeln für Laplace-Transformationen
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Einfache Schreibweise:

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S3 - AEWS) Anfangs und Endwertsatz
  1. erster Anfangswertsatz
    Es sei vorrausgesetzt, dass der Grenzwert im Zeitbereich existiert

  1. zweiter Anfangswertsatz
    Es sei vorrausgesetzt, dass der Grenzwert im Zeitbereich existiert

  1. Endwertsatz
    Endwert satz gilt nur dann, wenn alle Pole Links stehen, außer der Pol bei 0. Bevor der Endwertsatz angewandt wird muss die Funktion auf stabilität geprüft werden.

Korrespondenzen

Rücktransformation

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D - ILAPT) Inverse Laplace Transformation - Umkehrintegral

Funktionen im Bildbereich treten als rationales Polynom auf

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Vorhergehensweise
  1. Polynomdivision wenn
  2. sollte soweit es geht faktorisiert werden
  3. Null und Polstellen berechnen:
  4. Partialbruchzerlegung durchführen
  5. Vereinfachte Korrespondenzen der Tabelle Entnehmen

Existenzbedingungen

Bedingungen für dei Existenz der Laplace-Transformierten der funktion :

ü

für geeignete reelle Konstanten und und dass in jedem endlichen intervall nur endlich viele Springstellen besitzt.

Konvergenzsverhalten

Damit konvergiert, müssen alle Integrale konvergieren.

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S1 - LTKB) Konvergenzbedingung für die Laplace-Transformierte

Das heißt, dass das Laplace-Integral in der Halbebene rechts jenes Pols mit dem größten Realteil konvergiert.

Das führt zur Konvergenzabzisse im Pol-Nullstellen Diagramm

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Abschätzung der Konvergenzabzisse: Welche Funktionen können Transformiert werden?

Für spezielle Funktionen lassen sich Abschätzungen für angeben: Mit bezeichnen wir die Menge der Funktionen , für die gilt, dass stückweise stetig ist und dass höchstens exponentiell wächst. Das heißt, es existieren und , sodass

Sei und mit und . Dann gilt:
. Mit erhalten wir nun:

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S2 - TRF) Transformierbare Funktionen

Sei , dann Existiert die Laplace-Transformation von für alle mit . Mit wie in der obigen Abschätzung für die Konvergenzabzisse

Stabilität des Systems

Polstellen bei verschiedenen Schwingbedingungen:

Polstellenlage vs. Zeitbereichssignal

invert_dark

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